小学学习数学的思想方法

学习啦  燕纯   2020-04-20 18:18:08

  在小学数学教学中是怎样发挥数学思想方法对知识获得和能力形成的桥梁作用呢?接下来是小编为大家整理的小学学习数学的思想方法,希望大家喜欢!

  小学数学思想方法有效教学

  一、解读各种数学思想方法,提高小学数学教师的数学素养

  教师是落实数学思想方法的实施者,教师对数学思想方法的理解程度直接影响这一教学目标的有效落实。因此,教师首先要认真研读小学阶段所涉及的各种思想方法的内涵。

  教师深刻理解了各种数学思想方法的内涵,在课前预设时把数学思想方法的渗透作为重要的教学目标,是小学生理解、掌握数学思想方法的前提。

  二、在教学设计时,有意识地挖掘教材中蕴藏的数学思想方法

  教材体系有两条基本线索:一条是数学知识,这是明线,另一条是数学思想方法,这是蕴含在教材中的暗线!妒Э纬瘫曜肌吩诮滩谋嘈唇ㄒ樯,要求根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点,一些重要的数学概念与数学思想方法采取逐步渗透编排的,以便逐步实现学习目标,为此,在小学数学教材中根据不同年级蕴含着不同的数学思想方法。

  小学生在解决问题时,往往要渗透“从有限中认识无限,从精确中认识近似,从量变中认识质变”的极限思想。四年级教材中“直线、射线和角”的知识点,就蕴含极限的思想:射线只有一个端点,可以向一端无限延伸;直线由无数点组成,但没有端点,可以两端无限延伸;角的两边可以无限延长,角的大小与角的两边画出的长短无关。

  总之,数学思想方法总是隐含在各知识版块中,体现在应用知识的过程中,没有不包括数学思想方法的知识,也没有游离于知识之外的思想方法,教师在教学时要研究教材,遵照《教师教学用书》的教材编写要求中“有步骤地渗透数学思想方法,培养学生思维能力和解决问题的能力”的意见,认真备课,努力挖掘教材中进行数学思想方法渗透的各种因素,按章节及知识板块考虑应渗透哪些,怎样渗透,渗透到什么程度,并列为教学目标,使渗透成为有意识的教学活动。让学生理解并初步掌握数学思想方法,不仅有利于提高他们用数学解决问题的能力,同时也可使他们感受到数学思想方法的作用,受到思维训练,逐步形成有序地、严密地思考问题的意识,学生掌握了思想方法将终身受益。

  三、小学数学教学应如何加强数学思想方法的渗透

  (一)提高渗透的自觉性

  数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学 知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先 要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时 纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行数 学思想方法渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透,渗透哪 些数学思想方法,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。

  (二)把握渗透的可行性

  数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以實现。因此,必须把握好教学过程中进行数学思想方法 教学的契机——概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等。 同时,进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学 知识之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

  (三)注重渗透的反复性

  数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以 后的“反思”,因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法,对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过 分数和百分数应用题有规律的对比板演,指导学生小结解答这类应用题的关键,找到具体数量的对应分率,从 而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性,应该看到,对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练, 才能使学生真正地有所领悟。

  综上所述,小学数学教学中,教师重视数学思想方法的挖掘、提炼和研究,加强数学思想方法的指导,有意识地把数学教学过程转变为数学思维活动的过程,不断强化训练思想方法,培养应用思想方法探索问题和解决问题的良好习惯,从而提高学生数学思维素养。

  小学数学思想方法梳理

  小学阶段的数学思想方法

  抽象、推理和模型是数学的基本思想方法,是最高层面的思想方法,在实践中又派生出很多与具体内容结合的思想方法。

  在小学阶段,数学思想方法主要有符号化思想方法、类比思想方法、化归思想方法、分类思想方法、方程思想方法、函数思想方法、集合思想方法、对应思想方法、数形结合思想方法、数学建模思想方法、代换思想方法、优化的思想方法、假设的思想方法、极限思想方法、统计思想方法。

  (一)符号化思想方法

  用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想方法。在实际教学中,符号化的数学思想方法经常使用。如数学中各种数量关系(时间、速度和路程 :S=vt ;反比例关系:xy=k );还有量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律(加法交换律: a + b =b + a ;乘法分配律 : a (b+c) = ab + ac )、公式(平行四边形面积:S = ah ;圆柱的体积: V= sh );以及用符号表示图形(如三角形ABC 有符号表示角:∠1、∠2、∠3;两线段平行:AB∥CD ) ;还有其他的符号化思想方法的具体应用。通过这样的教学,使学生感受到使用符号的简洁性,逐步形成符号思想方法。

  (二)、类比思想方法

  无论是学习新知识,还是利用已有知识解决新问题,如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比,进而找到解决问题的方法,这样就实现了知识和方法的正迁移。因此,要引导学生在学习数学的过程中善于利用类比思想方法,提高解决问题的能力。例如在数与代数中,与整数的运算顺序和运算定律相类比,可以导出到小数、分数的运算顺序和运算定律;还有与分数的基本性质相类比,可以导出比也具有类似的性质,并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。问题解决中数量关系相近的问题的类比(如修一座桥,已知工作总量和工作时间,求工作效率的问题。通过类比的方法,修一条公路、生产一批零件的问题等,用同样方法可以解决);使用此方法最记忆犹新的就是在推导三角形的面积时,就类比了平行四边形面积的推导方法,从而使得面积的推导更加轻松易懂,也让学生体会到类比方法的好处,从而形成类比思想方法。而这两种图形面积的推导方法就是接下来我们要说的转化的数学思想方法。

  (三)、化归思想方法

  化归思想方法就是转化的思想方法。转化思想方法是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。在实际教学中,如几何的等面积变换(例如:五年级上册学习有关平行四边形面积的推导过程时,我们把未知的知识转化为已知的知识来进行探讨,就是把平行四边形的面积转化为长方形的面积,在这个转化的过程中,面积不变,只是形状发生了变化,继而通过长方形面积推导出平行四边形的面积);还有在解方程中(例如:解方程的过程,利用一些等式的性质、积与因数的关系等,实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程(x=a) );公式的变形中也常用到转化的思想方法(例如:小数乘法和小数除法就是转化为我们熟悉的整数乘法和整数除法来进行解答)。

  (四)、分类思想方法

  分类思想方法不是数学独有的方法,就是以一定标准对某一对象进行分类。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。在教学中,此思想方法经常用。如自然数的分类,若按能否被2整除分为奇数和偶数;若按约数的个数分为质数和合数。又例如我在教学《锐角和钝角》时,就采用了此方法,让学生给一堆凌乱的角进行分类,通过分类让学生总结锐角和钝角的特征;还比如,在教学《认识图形》时,通过让学生对实际物品进行分类,从而抽象出各种图形。

  (五)、方程思想方法

  方程思想方法的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号(常用x、y等字母)表示,根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想方法体现了已知与未知数的对立统一。小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想方法是小学思想方法的重要思想方法。例如用一元一次方程解决整数、小数、分数,百分数和比例等各种问题,还有用方程解决鸡兔同笼问题等。

  (六)、函数思想方法

  设集合ab是两个非空数集,如果按照某种确定的对立关系f,如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应,那么就称y是x的函数,记作y=f(x)。其中x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;y叫做函数或因变量,与x相对应的y的值叫做函数值,y的取值范围b叫做值域。这是函数定义的。函数思想方法体现了运动变化的、普遍性的观点。虽然在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想方法的渗透。与函数最为接近的就是有积的变化规律(一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化, 表示为Y=KX. 渗透正比例函数关系)、商的变化规律(除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为Y=XK,渗透正比例函数思想方法; 被除数不变, 商随着除数的变化而变化, 可表示为K=YX, 渗透反比例函数思想方法)、还有六年级有关的正比例关系和反比例关系这块内容就是函数思想方法最好的体现。

  (七)、集合思想方法

  把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。集合思想方法就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。例如在讲约数和倍数是渗透集合的思想方法,而且讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法;褂泄赜谒谋咝、梯形、长方形、正方形、平行四边形的分类也应用了集合的思想方法。

  (八)、对应思想方法

  对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此产生函数思想方法。如直线上的点<数轴>与表示具体的数量是一一对应的;还有在一年级上《比多少》的教学中就已经使用了一一对应的数学思想方法,将物品一一对应起来,进而更容易比出多少。通过此方法的应用,学生逐步感受到,将比较的东西一一对应起来会便于比较,解决问题比较方便。

  (九)、数形结合思想方法

  数和形是数学研究的两个主要对象,数不离形,形不离数,一方面抽象的数学概念,复杂的数量关系,借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。如教学《植树问题》时,就采用了数形结合的数学思想方法,通过“图”与“式”的结合继而找出他们之间的数量关系;除此之外,在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系(如六年级上册探究“一个数除以分数”的算理时,可以借助线段图的方法找出他们之间的联系,也是数形结合思想方法的应用)。

  (十)、数学建模思想方法

  数学中的各种概念、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的,从这个意义上讲,所有的数学知识都是刻画现实世界的模型。数学建模就是建立数学模型来解决问题的思想方法。例如:小学数学五年级的出租车计费的问题。出租车起步价是8元,2千米以后按照每千米1.8元计算。小明去的地方离这里有6千米,需要多少出租车费?对待这个问题,学生难免会出现两种情况:一是直接用1.8乘6,忽略起步价;二是知道起步价之内公里数先减掉,最后忘记加上起步价。在教育教学中,教师最好用清晰的线段图示进行分析,让学生慢慢建立一个有关这类问题的一个模型,用起步价加上计价路程的费用,就是等于一共要付的出租车费用。当学生建立好这样的一个模型,对待类似有关问题,可以借助这类模型用同样的方法发散思维。如五年级上册小数乘法的一个课后题就是关于上网收费的问题就可以按照这个数学模型来解决。再说另外一个数学建模的例子,就是在六年级上册学习分数除法的有关知识时,通过学习分数除以整数的知识类比迁移到一个数除以分数的算理,然后再结合整数除法,进行一个有关除法运算的一个知识建构,建立一个针对这几个类型都能使用的数学模型就是: A ÷ B = A × 1/B (B ≠ 0 ),也就是建立有关这类除法运算的万能公式模型。

  (十一)、代换思想方法

  代换思想方法是方程解法的重要原理,解题时可将某个条件用别的条件进行代换。例如小明买了一套衣服,上衣和裤子总共504元,上衣价格是裤子价格的3倍,上衣和裤子的单价各是多少元?在解决问题中,用代换的思想方法,把上衣的价格用裤子的价格进行代换,这样把求两个未知量的问题转化成求一个未知量的问题,这样就简单化了,问题迎刃而解了。

  (十二)、优化思想方法

  “优化思想方法”是数学思想方法的重要组成部分,也是构成一个人数学综合素养的要素之一。优化思想方法就是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案(决策)的思想方法,是一个很重要的数学思想方法!坝呕枷敕椒ā痹谛⊙Ы滩闹写Υ杉负奂,如计算教学中的“算法优化”。例:教学中出现如下计算题:27+31=?,让学生用自己喜欢的算法进行计算,学生学到的方法有:

  (1)笔算法:7+1=8,20+30=50,8+50=58;

  (2)凑整法:27+3+28=(27+3)+28=30+28=58;

  (3)分解法:27+1+30=(27+1)+30=28+30=58;

  (4)口算法一:20+30=50,7+1=8,50+8=58;

  (5) 口算法二:27+30=57,57+1=58或31+20=51,51+7=58。

  这些算法,只要引导学生通过比较,很容易得到最优化的方法或基本的算法,但许多教师在教学两位数加减两位数(口算)时,由于片面理解新课程理念倡导的“鼓励算法多样化”理念,认为只要学生喜欢的算法就应提倡,因而就忽视了算法最优化的过程。本题教学中,最优化的算法应该是口算法二,有些学生已经想到,但教师没有引导学生通过比较,得出这是最基本、最优化的算法。实际上,在这五种算法中,口算法二的算法,他的解题过程思考的步骤最少,只有两步,口算教学的基本原则是尽量减少口算过程暗记次数,学生通过比较是很容易得出这一最优化的算法的,同时,这一最优化的算法对于接着学习“两位数加两位数进位加法(口算)”有着重要的铺垫作用。因而数学计算教学鼓励学生算法多样化,必须以算法优化为基础,必须通过引导学生比较算法,从而优化算法,使学生形成基本算法,为今后学习和提高计算技能打下良好的基础。

  还有解决问题教学中的“策略优化”。例如:解决“鸡兔同笼”的策略有很多,学生通过多种方法的探索,积累了解决问题的经验,掌握了解决问题的不同方法。但各种方法之间也要突出重点,不能每种方法都泛泛而谈。在众多方法中,列表法、画图法都具有各自的局限性,基于这部分内容安排在五年级,因此在教学中应突出体现一般方法——假设法和代数法的教学。由于代数法是四年级已接触学习过的方法,因此教学中教师以假设法为重中之重来体现,用列表法和图示法帮助学生理解假设法的算理。这样无形之中,体现了解决问题策略多样化、多样化中有优化的特点。

  (十三)、假设思想方法

  假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想方法最典型的应用就是《鸡兔同笼》问题了。学生学习完鸡兔同笼,无不对假设的数学思想方法使用的相当熟练。

  例如有3个头,8只脚。

  假设全是鸡

  就有3_2=6只脚

  但是还剩2支脚

  兔比鸡多2只脚 就是有1个两只脚

  所以有1只兔子2只鸡。

  假设全是兔

  就有3_4=12支脚

  剩下4只

  鸡比兔多2只脚 就是有2个两支脚

  所以有2只鸡 一只兔子

  (十四)、极限思想方法

  极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础,极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想方法武器。极限思想方法是一种非常重要的思想方法,是形象思维向抽象思维转化的纽带。在小学阶段渗透极限思想方法,不仅可以提高学生的抽象思维能力,而且有利于掌握数学的思想方法和方法。在小学教学中的在公式推倒过程中渗透极限思想方法。例如在教学“圆面积公式的推导”一课时,教师是这样设计的。

  师:我们过了一些图形的面积计算公式,今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗?

  生:可以把圆转化为我们学过的图形。

  师:怎么转化?

  生:分一分。

  演示把圆平均分成了2分,把两个半圆地拚起来,结果还是一个圆。

  生:多分几份试一试。

  演示把一个圆分割为完全相同的小扇形,并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个……

  师:你们有什么发现?

  生:分的份数越多,拼成的图形就越接近长方形。

  课件继续演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去,拼出的结果会怎样?

  生:拼成的图形就真的变成了长方形,因为边越来越直了。

  这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程,“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程,感悟了极限思想方法的具大价值。学生有了这个基础,到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法,从而再一次加以利用解决问题,在不断的应用中学生的极限思想方法会潜移默化地形成。

  以上计算公式的推导过程,采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限,根据图形分割拼合的变化趋势,想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式,又萌发了无限逼近的极限思想方法。

  (十五)、统计思想方法

  小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法,例如:求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。(统计一个班的学生的身高、体重、年龄等这些参数,算出这些参数的平均数就是用统计的思想方法处理的。)

  小学数学学习思想方法和技巧

  (一)引导学生做到数形有机结合  

        数形结合是将抽象与具体相融合的过程,在这一过程中能够有效实现数与形的优势互补,将二者之间的本质联系凸显出来。如在学习《圆的面积》一节时,之前学生已对圆有了基本认识,因此,在教学如何计算圆的面积时,教师可先引导学生猜想圆的面积同什么要素有关。为了让学生有更为直观的感受,教师还可要求学生自己在练习本上分别画出半径是3cm、4cm和5cm的圆。然后,再询问学生,这三个圆的大小不一样,那它们的面积大小是什么关系呢?是等于还是半径越小的面积越大,或是半径越大圆的面积越大?学生在思考了一下后大都认为半径为5cm的那个圆最大,半径是3cm的圆的面积最小。在有了这样的认识后,学生就会在头脑中形成圆的面积同半径有关这样一个认识,之后教师就可据此引导学生如何求得圆的面积。综上所述,在引入圆的面积之前,我先让学生对圆同半径之间的关系有了一个清晰的了解,为了达到这个目的采取的是让学生自己动手将头脑中抽象的东西通过图形展示出来并结合具体的数字印证出来的方法。这种数形结合的思想方法能够使问题直观化,将学生学习的积极性和主动性调动起来,提高了课堂教学质量。

  (二)学会转化,化难为易

  转化的思想就是用联系、运动和发展的观点去看问题,通过变换问题的形式,把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中,从而获得对原问题的解决,因此转化的思想方法也叫划归的思想方法。在数学教学中转化的思想方法随处可见,特别是在解题时,我们可根据已知条件将问题转化,从另一个角度进行思考将难化易。如在讲完《圆的周长》这一节后,课后习题中有一道题是将长方形和正方形同圆结合起来,让学生在已知半径的情况下分别求出圆、长方形和正方形的周长。我将这道题中的一个小题做了改编,让学生在已知正方形周长的情况下去求圆的周长。圆位于正方形内,二者是相切的关系,这就要求学生能够根据正方形的周长求出正方形的边长,而正方形的边长就是圆的直径,再套用周长C=d的公式就能求得圆的周长。这套题目要求学生能根据已知条件对问题进行转化,从而创造出更多的已知条件。在这个过程中,学生一方面将新旧知识联系了起来,另一方面也扩散了思维,对于学生学习能力和解决问题能力的提升有积极的促进作用。

  (三)及时做到归纳、总结

  及时地归纳和总结既能够使知识更加系统化,又便于学生更好地发现各个知识点之间的联系与区别,对于巩固学生知识具有十分重要的作用。在数学中归纳的思想方法指通过对特殊示例、题材的观察和分析,摄取非本质的、次要的要素,从中发现事物的本质联系,并概括普遍性的结论。在讲完《圆》这一节后,我会及时要求学生将跟圆有关的知识总结出来,并在总结的同时思考自己在这一部分的学习中哪里还没有真正掌握,哪里还存在欠缺。此外,我还要求学生将自己之前做过的练习题也做一个总结,甚至是再多做一遍。总结知识点有利于学生做好知识的巩固与梳理工作,练习题的归纳则是让学生对于不同题目的不同解题思路和技巧有一个更明确的认识。而学生在总结的过程中能不断提升自己的概括能力,这也是数学思想方法渗入到学生思维中的一个良好的表现与结果。


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